Beispiele:

 Dreicksfläche   A = ½ a b → A = ½ x²

 Würfelvolumen   V = a b c → V = x³

Kegelvolumen   V = ⅓ r² h π → V = ⅓ x³ π

 … u.s.w.

 Die Art und Weise der Idealisierung ist somit geklärt.

 

Tabelle 1: Systematische Anordnung von Formen verschiedener Dimensionen,

mit Hyperpyramide und Hyperwürfel (bzw. Tesserakt)

 

  Wir sehen eine Anordnung von Feldern. Jedes der Felder hat immer links oben eine Bezeichnung zugewiesen bekommen. Die erste Ziffer bezieht sich auf die Tabelle. (Es folgen noch weitere Tabellen.) Die zweite Ziffer ist die Feldnummer innerhalb der Tabelle.

  Die Tabelle besteht aus fünf Spalten. Die Spalte gibt die jeweilige Dimension an. Wie oben bereits angedeutet, scheint nun ein Zusammenhang zwischen Form und Dimension zu existieren: Multipliziert man die Fläche eines Dreiecks mit der Dimension, die eine Fläche besitzt (also d = 2), so erhält man die Fläche eines Quadrates (siehe Felder 1.5 und 1.6). Analog funktioniert das ebenso mit dem Volumen einer Pyramide: Multipliziert man dieses mit der Dimension d = 3, dann ergibt sich das Volumen eines Würfels (siehe Felder 1.7 und 1.8).

  Das Besondere an dieser Anordnung ist nun Folgendes: Leitet man die Formel des Pyramiden-Volumens nach x ab, so bekommt man die Fläche eines Quadrats (siehe Felder 1.7 und 1.6). Umgekehrt könnte man auch die Quadratfläche integrieren (ohne Berücksichtigung der Konstante C) und erhält das Pyramiden-Volumen.

  Wenn man dieses Prinzip konsequent durchzieht, dann stößt man in der Spalte mit der Dimension 0 auf ein Problem: Die Länge eine Strecke abgeleitet ergibt den Wert 1. Dieser Wert steht für einen Punkt. Und ein Punkt wird gemeinhin als dimensionslos angenommen. Wäre jedoch die Dimension eines Punktes exakt 0, dann müsste man 0 mit „unendlich“ multiplizieren, damit die Systematik dieser Tabelle aufrecht erhalten bleibt. Das ist jedoch problematisch. Aus diesem Grund wird hier von „quasi-null“ und „quasi-unendlich“ gesprochen. Unter „quasi-unendlich“ wird „alles, ausgenommen der Wert 1“ verstanden, und „quasi-null“ bedeutet „nichts, ausgenommen der Wert 1“. Zur Veranschaulichung ein einfaches Beispiel: Die Gleichung x + 1 = 2 liefert die Lösung x = 1. Man könnte aber genauso gut behaupten: x = nichts, ausgenommen der Wert 1.

  Und wenn sich der Wert 1 bei den nachfolgenden Tabellen ändert, so bleibt die Erklärung doch die gleiche.

 

  Erweitert man die Tabelle nach rechts, so erhält man in der Spalte mit der vierten Dimension, dem „Hyperraum“, die Formeln für die Volumina von „Hyperpyramide“ und „Hyperwürfel“ (bzw. „Hyperkubus“). Die Bezeichnungen sind unglücklich, denn sie sind genaugenommen irreführend. Es wäre ebenso unpassend, einen Würfel als „Hyperquadrat“ zu bezeichnen. Doch es gibt derzeit keine eigenständigen Namen für diese Objekte, mit Ausnahme des Hyperwürfels. Dieser wird in der Fachliteratur auch „Tesserakt“ genannt.

  Wie hat man sich nun eine Hyperpyramide oder einen Hyperwürfel vorzustellen? Nun, unter den Suchbegriffen „Hyperpyramide“ und „Hyperwürfel“ findet man im Internet Bilder von verschiedenen Modellen, die versuchen, einen Tesserakt oder eine „Hyperpyramide“ in der zweiten Dimension darzustellen. Aber alle Varianten haben große Schwächen.

 

 

  Kommen wir nun zur nächsten Tabelle. Diesmal sei die Rotation mit einbezogen.

  Ausgehend von Kegel- und Zylinder-Volumen lässt sich das Schaubild mittels der zu Grunde gelegten Systematik entsprechend vervollständigen:

 Tabelle 2: Systematische Anordnung von Formen verschiedener Dimensionen,

mit Hyperkegel und Hyperzylinder

 

  Die dahinter stehende Logik sollte inzwischen leicht erkennbar sein. An Stelle des Wertes 1 findet man jetzt die Kreiszahl π (siehe Feld 2.2). Und in der Spalte der 4. Dimension findet man die Formeln für das „Hypervolumen eines Hyperkegels bzw. eines Hyperzylinders“. Wie mögen Letztere wohl aussehen?

 

  Dann zum dritten und letzten Schaubild...

  Wird die Formel für das Volumen einer Kugel abgeleitet, so erhält man die Formel für die Kugel-Oberfläche. Auf Grund dieser Tatsache lässt sich eine weitere Tabelle erstellen.

 

 Tabelle 3: Systematische Anordnung von Formen verschiedener Dimensionen, mit Hyperkugel (?)

 

  Die Systematik ist wieder klar, nur hängen diesmal die Formen mit der Ableitung zusammen: Kugelvolumen abgeleitet ergibt Kugel-Oberfläche; und Mantelfläche eines Zylinders ergibt die Kantenlänge eines Zylinders (bzw. die Begrenzungslinie des Zylindermantels, nicht abgewickelt). Also: Kugel bezieht sich auf Kugel, und Zylinder-Mantel bezieht sich auf Zylinder-Mantel.

 

  Es ist schwierig zu sagen, ob eine solche Anordnung überhaupt Sinn macht? Wenn ja, dann sollte auf Grund der Logik ein Körper im 3-dimensionalen Raum existieren, der das dreifache Volumen einer Kugel besitzt (und der die Gesetze dieser Systematik wahrt).

 Frage: Wie sieht dieser Körper aus?

 

  (Man könnte noch weitere solcher Tabellen erstellen, die z.B. auf π² aufbauen, und in die man dann die Torus-Oberfläche einbauen kann. Doch die angestrebte Systematik geht schnell verloren.)

 

Referenzen:

Website: https://markus-heisss.jimdofree.com